10. Найдите $$\text{tg } \alpha$$, если $$\sin \alpha = -\frac{5}{\sqrt{26}}$$ и $$\alpha \in (\pi; \frac{3\pi}{2})$$.

Решение:

Нам дано, что $$\sin \alpha = -\frac{5}{\sqrt{26}}$$ и угол $$\alpha$$ находится в третьей четверти ($$(\pi; \frac{3\pi}{2})$$).

В третьей четверти синус отрицательный (что соответствует данному значению), а косинус также отрицательный.

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$$.

1. Найдем $$\cos \alpha$$:
• \[ \cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha \]
• \[ \cos^2 \alpha = 1 - \left(-\frac{5}{\sqrt{26}}\right)^2 \]
• \[ \cos^2 \alpha = 1 - \frac{25}{26} \]
• \[ \cos^2 \alpha = \frac{26 - 25}{26} = \frac{1}{26} \]
2. Так как $$\alpha$$ в третьей четверти, $$\cos \alpha$$ отрицательный.
• \[ \cos \alpha = -\sqrt{\frac{1}{26}} = -\frac{1}{\sqrt{26}} \]

Теперь найдем $$\text{tg } \alpha$$ по формуле:

• \[ \text{tg } \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \]

Подставим найденные значения:

• \[ \text{tg } \alpha = \frac{-\frac{5}{\sqrt{26}}}{-\frac{1}{\sqrt{26}}} \]
• \[ \text{tg } \alpha = \frac{5}{\sqrt{26}} \times \frac{\sqrt{26}}{1} = 5 \]

Ответ: 5