5. Площадь прямоугольного треугольника равна $$32\sqrt{3}$$. Один из острых углов равен $$30^{\circ}$$. Найдите длину гипотенузы.

Дано:

• Прямоугольный треугольник ABC
• $$S = 32\sqrt{3}$$
• Один острый угол = $$30^{\circ}$$

Найти: Гипотенузу (c)

Решение:

Пусть у нас есть прямоугольный треугольник ABC, где $$\angle C = 90^{\circ}$$. Пусть $$\angle A = 30^{\circ}$$. Тогда $$\angle B = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$$.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов: $$S = \frac{1}{2}ab$$, где $$a$$ и $$b$$ — катеты.

Мы знаем, что $$S = 32\sqrt{3}$$, значит:

• \[ \frac{1}{2}ab = 32\sqrt{3} \]
• \[ ab = 64\sqrt{3} \]

В прямоугольном треугольнике с углом $$30^{\circ}$$ катет, лежащий напротив этого угла ($$a$$), равен половине гипотенузы ($$c$$), а другой катет ($$b$$) равен $$a\sqrt{3}$$ или $$c\frac{\sqrt{3}}{2}$$.

Мы можем выразить катеты через угол $$30^{\circ}$$:

• $$a = c \sin(30^{\circ}) = c \times \frac{1}{2} = \frac{c}{2}$$
• $$b = c \cos(30^{\circ}) = c \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{c\sqrt{3}}{2}$$

Теперь подставим эти выражения для $$a$$ и $$b$$ в уравнение $$ab = 64\sqrt{3}$$:

• \[ \left(\frac{c}{2}\right) \times \left(\frac{c\sqrt{3}}{2}\right) = 64\sqrt{3} \]
• \[ \frac{c^2\sqrt{3}}{4} = 64\sqrt{3} \]

Разделим обе части уравнения на $$\sqrt{3}$$:

• \[ \frac{c^2}{4} = 64 \]

Умножим обе части на 4:

• \[ c^2 = 64 \times 4 \]
• \[ c^2 = 256 \]

Найдем $$c$$ (гипотенузу), взяв квадратный корень:

• \[ c = \sqrt{256} \]
• \[ c = 16 \]

Ответ: 16