4. Вычислите сумму первых девятнадцати членов арифметической прогрессии $$a_n = 15 - 3n$$.

Решение:

У нас есть арифметическая прогрессия, заданная формулой $$a_n = 15 - 3n$$. Нам нужно найти сумму первых 19 членов ($$S_{19}$$).

Формула для суммы первых $$n$$ членов арифметической прогрессии:

• \[ S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \times n \]

Сначала найдем первый член прогрессии ($$a_1$$) и девятнадцатый член ($$a_{19}$$).

1. Найдем $$a_1$$:
• Подставим $$n=1$$ в формулу $$a_n = 15 - 3n$$:
• \[ a_1 = 15 - 3(1) = 15 - 3 = 12 \]
2. Найдем $$a_{19}$$:
• Подставим $$n=19$$ в формулу $$a_n = 15 - 3n$$:
• \[ a_{19} = 15 - 3(19) = 15 - 57 = -42 \]

Теперь у нас есть все необходимые значения для формулы суммы:

• $$n = 19$$
• $$a_1 = 12$$
• $$a_{19} = -42$$

Подставим их в формулу $$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \times n$$:

• \[ S_{19} = \frac{12 + (-42)}{2} \times 19 \]
• \[ S_{19} = \frac{12 - 42}{2} \times 19 \]
• \[ S_{19} = \frac{-30}{2} \times 19 \]
• \[ S_{19} = -15 \times 19 \]

Вычислим произведение:

• \[ -15 \times 19 = -(15 \times (20 - 1)) = -(15 \times 20 - 15 \times 1) = -(300 - 15) = -285 \]

Ответ: -285