10. Найдите углы трапеции KLMN. LM ∥ KN, KL = LM = MN, KM = KN.

Так как боковые стороны KL и MN равны, трапеция равнобедренная. Обозначим нижние углы ∠K = ∠N = x; тогда верхние углы ∠L = ∠M = 180° − x.

В треугольнике KLM стороны KL и LM равны, поэтому углы при основании KM равны: ∠LKM = ∠KML = x / 2.

В треугольнике KMN стороны KM и KN равны, поэтому ∠KMN = ∠MNK. Угол ∠MNK равен углу трапеции N, то есть x; следовательно, ∠KMN = x, а ∠MKN = 180° − 2x.

Из LM ∥ KN следует ∠KML = ∠MKN. Поэтому x / 2 = 180° − 2x, откуда x = 72°.

Ответ: ∠K = ∠N = 72°, ∠L = ∠M = 108°.