10. Найдите значение выражения (a²³ ⋅ (b⁵)⁴) / ((a ⋅ b)²⁰) при a = 2 и b = √2.

Решение:

Сначала упростим выражение, используя свойства степеней \( (x^m)^n = x^{m \cdot n} \) и \( (xy)^n = x^n y^n \), а затем подставим значения \( a \) и \( b \).

1. Упростим числитель: \( a^{23} \cdot (b^5)^4 = a^{23} \cdot b^{5 \cdot 4} = a^{23} \cdot b^{20} \).
2. Упростим знаменатель: \( (a \cdot b)^{20} = a^{20} \cdot b^{20} \).
3. Теперь разделим упрощённые числитель и знаменатель: \( \frac{a^{23} \cdot b^{20}}{a^{20} \cdot b^{20}} \).
4. Сократим одинаковые степени: \( a^{23-20} \cdot b^{20-20} = a^3 \cdot b^0 = a^3 \cdot 1 = a^3 \).
5. Подставим данное значение \( a = 2 \): \( 2^3 = 8 \).
6. Значение \( b = \sqrt{2} \) не понадобилось, так как \( b^{20} \) сократилось.

Ответ: 8