5. Найдите значение выражения 24⁴ / (3² ⋅ 8³).

Решение:

Для решения этого примера представим основания степеней в виде простых множителей и воспользуемся свойствами степеней.

1. Представим 24 как \( 3 \cdot 8 \) или \( 3 \cdot 2^3 \). Тогда \( 24^4 = (3 \cdot 2^3)^4 = 3^4 \cdot (2^3)^4 = 3^4 \cdot 2^{12} \).
2. Знаменатель: \( 3^2 \cdot 8^3 \). Заменим 8 на \( 2^3 \): \( 3^2 \cdot (2^3)^3 = 3^2 \cdot 2^9 \).
3. Теперь подставим полученные выражения в дробь: \( \frac{3^4 \cdot 2^{12}}{3^2 \cdot 2^9} \).
4. Разделим степени с одинаковыми основаниями, вычитая показатели: \( 3^{4-2} \cdot 2^{12-9} = 3^2 \cdot 2^3 \).
5. Вычислим: \( 3^2 = 9 \) и \( 2^3 = 8 \).
6. Перемножим результаты: \( 9 \cdot 8 = 72 \).

Ответ: 72