10. Найдите значение выражения \( \frac{a^{23} \cdot (b^5)^4}{(a \cdot b)^{20}} \) при \( a = 2 \) и \( b = \sqrt{2} \).

Решение:

Сначала упростим алгебраическое выражение, а затем подставим значения переменных.

1. Раскроем скобки в числителе: \( (b^5)^4 = b^{5 \times 4} = b^{20} \).
2. Числитель теперь \( a^{23} \cdot b^{20} \).
3. Раскроем скобки в знаменателе: \( (a \cdot b)^{20} = a^{20} \cdot b^{20} \).
4. Теперь выражение выглядит так: \( \frac{a^{23} \cdot b^{20}}{a^{20} \cdot b^{20}} \).
5. Сократим \( b^{20} \) в числителе и знаменателе.
6. Остается: \( \frac{a^{23}}{a^{20}} \).
7. При делении степеней с одинаковым основанием, показатели вычитаются: \( a^{23-20} = a^3 \).
8. Теперь подставим значение \( a = 2 \): \( 2^3 \).
9. Вычислим: \( 2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8 \).

Ответ: 8