10. Найдите значение выражения \(\frac{a^{23} \cdot (b^5)^4}{(a \cdot b)^{20}}\), при $$a=2$$ и $$b=\sqrt{2}$$.

Решение:

Упростим выражение, используя свойства степеней \((x^m)^n = x^{m \cdot n}\) и \((xy)^n = x^n y^n\):

\[ \frac{a^{23} \cdot (b^5)^4}{(a \cdot b)^{20}} = \frac{a^{23} \cdot b^{5 \cdot 4}}{a^{20} \cdot b^{20}} = \frac{a^{23} \cdot b^{20}}{a^{20} \cdot b^{20}} \]

Сократим \(b^{20}\) и упростим дробь по \(a\):

\[ \frac{a^{23}}{a^{20}} = a^{23-20} = a^3 \]

Теперь подставим \(a=2\):

\[ a^3 = 2^3 = 8 \]

Ответ: 8.