9. Найдите значение выражения \( \frac{1}{4^{-10}} \cdot \frac{1}{49} \).

Решение:

Воспользуемся свойствами степеней и дробей.

1. Вспомним, что \( \frac{1}{a^{-n}} = a^n \). Поэтому \( \frac{1}{4^{-10}} = 4^{10} \).
2. Также вспомним, что \( 49 = 7^2 \).
3. Теперь выражение выглядит так: \( 4^{10} \cdot \frac{1}{7^2} \).
4. Это можно записать как \( \frac{4^{10}}{7^2} \).
5. Заметим, что \( 4 = 2^2 \). Тогда \( 4^{10} = (2^2)^{10} = 2^{20} \).
6. Выражение становится \( \frac{2^{20}}{7^2} \).
7. Поскольку нет возможности упростить дальше и получить целое число, оставим его в таком виде или перепишем \( 4^{10} \) как \( (2^2)^{10} \) и \( 7^2 \) как \( 49 \).
8. Можно также заметить, что \( 4^{10} \) — это очень большое число.
9. Перепишем \( 49 \) как \( 7^2 \).
10. Исходное выражение: \( 4^{10} \cdot \frac{1}{49} = \frac{4^{10}}{49} \).
11. Перепишем \( 4^{10} \) как \( (2^2)^{10} = 2^{20} \).
12. Таким образом, \( \frac{2^{20}}{49} \).
13. Ответ можно оставить как \( \frac{4^{10}}{49} \) или \( \frac{2^{20}}{49} \).

Ответ: \(\frac{4^{10}}{49}\)