10. Объём треугольной призмы, отсекаемой от куба плоскостью, проходящей через середины двух рёбер, выходящих из одной вершины, и параллельной третьему ребру, выходящему из этой же вершины, равен 15. Найдите объём куба.

Краткая запись:

• Объем отсеченной треугольной призмы: 15
• Плоскость проходит через середины двух ребер куба, выходящих из одной вершины, и параллельна третьему ребру.
• Найти: Объем куба

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Представим куб с ребром \( a \). Его объем \( V_{куба} = a^3 \).
2. Шаг 2: Плоскость, проходящая через середины двух ребер, выходящих из одной вершины, и параллельная третьему ребру, отсекает от куба треугольную призму.
3. Шаг 3: Определяем размеры отсеченной призмы. Основанием этой призмы является прямоугольный треугольник, катеты которого равны \( a/2 \) (половины ребер куба). Высота призмы равна ребру куба \( a \).
4. Шаг 4: Находим объем отсеченной треугольной призмы. \( V_{призмы} = S_{осн} * h \). Площадь основания (прямоугольного треугольника) \( S_{осн} = (1/2) * (a/2) * (a/2) = a^2 / 8 \). Тогда объем призмы \( V_{призмы} = (a^2 / 8) * a = a^3 / 8 \).
5. Шаг 5: Из условия задачи известно, что объем отсеченной призмы равен 15. \( V_{призмы} = 15 \).
6. Шаг 6: Приравниваем формулу объема призмы к данному значению: \( a^3 / 8 = 15 \).
7. Шаг 7: Находим объем куба \( V_{куба} = a^3 \). Из уравнения \( a^3 / 8 = 15 \) следует, что \( a^3 = 15 * 8 = 120 \).

Ответ: 120