10. Основанием прямой призмы ABC A₁B₁C₁ является прямоугольный треугольник ABC (∠C = 90°), у которого AC = 3√2 и ∠A = 30°. Диагональ B₁C боковой грани составляет с плоскостью АА₁B₁ угол 30°. Найдите объем призмы.

Решение:

1. Найдём катеты прямоугольного треугольника ABC:
• Дано: \( AC = 3\sqrt{2} \), \( \angle A = 30^\circ \).
• \( \text{tg} A = \frac{BC}{AC} \)
• \( \text{tg} 30^\circ = \frac{BC}{3\sqrt{2}} \)
• \( \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{BC}{3\sqrt{2}} \)
• \( BC = \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{6}}{3} = \sqrt{6} \)
• Найдём гипотенузу AB:
• \( \cos A = \frac{AC}{AB} \)
• \( \cos 30^\circ = \frac{3\sqrt{2}}{AB} \)
• \( \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{2}}{AB} \)
• \( AB = \frac{2 \cdot 3\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{6}}{3} = 2\sqrt{6} \)
• Найдём площадь основания:
• \( S_{осн} = \frac{1}{2} AC · BC = \frac{1}{2} \cdot 3\sqrt{2} · \sqrt{6} = \frac{3}{2} \sqrt{12} = \frac{3}{2} · 2\sqrt{3} = 3\sqrt{3} \)
• Найдём высоту призмы (AA₁):
• Диагональ \( B_1C \) боковой грани \( BCC_1B_1 \).
• Плоскость \( AA_1B_1 \).
• Угол между прямой \( B_1C \) и плоскостью \( AA_1B_1 \) равен \( 30^\circ \).
• Нам дана диагональ \( B_1C \) боковой грани, а угол между ней и плоскостью \( AA_1B_1 \) равен \( 30^\circ \).
• Проведем из точки \( C_1 \) перпендикуляр \( C_1M \) к прямой \( A_1B_1 \). Длина этого перпендикуляра равна высоте призмы \( AA_1 \) (так как \( AA_1 ⊥ A_1B_1 \) и \( C_1M ⊥ A_1B_1 \)).
• Рассмотрим треугольник \( B_1C_1C \) — прямоугольный.
• \( C_1C = AA_1 = H \) (высота призмы).
• \( B_1C_1 = AB = 2\sqrt{6} \).
• \( B_1C = √(B_1C_1^2 + C_1C^2) = √((2\sqrt{6})^2 + H^2) = √(24 + H^2) \).
• Рассмотрим плоскость \( AA_1B_1 \). Угол между \( B_1C \) и плоскостью \( AA_1B_1 \) равен \( 30^\circ \).
• Проекцией \( B_1C \) на плоскость \( AA_1B_1 \) является прямая \( A_1B_1 \).
• Проведем перпендикуляр из \( C \) на плоскость \( AA_1B_1 \). Это будет отрезок \( CC_1 \), если \( C \) лежит на \( A_1B_1 \), что неверно.
• Переформулируем условие: Угол между диагональю \( B_1C \) и плоскостью \( AA_1B_1 \) равен \( 30^\circ \).
• Нам нужно найти высоту призмы \( H = CC_1 = AA_1 \).
• Проведем из \( C \) перпендикуляр \( CK \) на прямую \( A_1B_1 \) в плоскости основания \( ABC \). Но \( A_1B_1 \) параллельна \( AB \), а \( C \) не лежит на \( AB \).
• Вернёмся к геометрии:
• Угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость.
• Проекция \( B_1C \) на плоскость \( AA_1B_1 \) — это прямая \( A_1B_1 \). (Это неверно).
• Рассмотрим прямую B₁C и плоскость AA₁B₁.
• Пусть \( C' \) — проекция точки \( C \) на плоскость \( AA_1B_1 \). Так как \( CC_1 ⊥ \) плоскости \( ABC \), то \( CC_1 \) перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, в частности \( A_1B_1 \).
• Тогда \( C' = C_1 \).
• Проекция отрезка \( B_1C \) на плоскость \( AA_1B_1 \) — это отрезок \( B_1C_1 \).
• Угол между \( B_1C \) и \( B_1C_1 \) — это угол \( \angle CB_1C_1 \).
• \( \angle CB_1C_1 = 30^\circ \).
• В прямоугольном треугольнике \( B_1C_1C \):
• \( \text{tg}(\angle CB_1C_1) = \frac{CC_1}{B_1C_1} \)
• \( \text{tg}(30^\circ) = \frac{H}{AB} \)
• \( \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{H}{2\sqrt{6}} \)
• \( H = \frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{2} \) см.
• Найдём объем призмы:
• \( V = S_{осн} · H \)
• \( V = 3\sqrt{3} · 2\sqrt{2} \)
• \( V = 6\sqrt{6} \) см³.

Ответ: \( 6\sqrt{6} \) см³.