9. Используйте свойства функций и решите неравенство log0,5 x ≥ x – 6.

Решение:

Рассмотрим функции \( y = \log_{0,5} x \) и \( y = x - 6 \).

1. Построим графики функций:

• \( y = \log_{0,5} x \): это логарифмическая функция с основанием \( 0,5 < 1 \). Она убывает. Область определения: \( x > 0 \). Точки: \( (1, 0) \), \( (0.5, 1) \), \( (2, -1) \), \( (4, -2) \).
• \( y = x - 6 \): это линейная функция, прямая с угловым коэффициентом 1 и сдвигом по оси y на -6. Точки: \( (0, -6) \), \( (6, 0) \), \( (8, 2) \).

2. Найдем точки пересечения графиков:

\( \log_{0,5} x = x - 6 \)

Подбором находим, что \( x = 8 \) является решением:

\( \log_{0,5} 8 = -3 \)

\( 8 - 6 = 2 \)

Ошибка в подборе, проверим ещё раз.

\( \log_{0,5} x = x - 6 \)

Проверим \( x = 4 \): \( \log_{0,5} 4 = -2 \), \( 4 - 6 = -2 \). Значит, \( x=4 \) — точка пересечения.

Проверим \( x = 8 \): \( \log_{0,5} 8 = -3 \), \( 8 - 6 = 2 \). \( -3 \neq 2 \).

3. Определим, где график \( y = \log_{0,5} x \) находится выше графика \( y = x - 6 \).

Так как \( y = \log_{0,5} x \) — убывающая функция, а \( y = x - 6 \) — возрастающая, они могут пересекаться не более чем в двух точках. Мы нашли одну точку пересечения \( x=4 \).

Попробуем найти вторую точку пересечения. Заметим, что \( x=8 \) не является решением.

Если \( x=2 \): \( \log_{0,5} 2 = -1 \), \( 2-6 = -4 \). \( -1 > -4 \). Значит, \( x=2 \) удовлетворяет неравенству.

Если \( x=1 \): \( \log_{0,5} 1 = 0 \), \( 1-6 = -5 \). \( 0 > -5 \). Значит, \( x=1 \) удовлетворяет неравенству.

4. Анализ поведения функций:

Функция \( y = \log_{0,5} x \) убывает, а \( y = x - 6 \) возрастает. Мы нашли, что \( x=4 \) является точкой пересечения. Для \( x < 4 \) (и \( x > 0 \)) \( \log_{0,5} x > x - 6 \), а для \( x > 4 \) \( \log_{0,5} x < x - 6 \).

5. Решение неравенства:

Неравенство \( \log_{0,5} x \ge x - 6 \) выполняется, когда график \( y = \log_{0,5} x \) лежит выше или совпадает с графиком \( y = x - 6 \).

Это происходит при \( 0 < x \le 4 \).

Ответ: \( (0; 4] \).