10. Основанием прямой призмы ABCА₁В₁С₁ является прямоугольный треугольник ABC (∠C = 90°), у которого AB = 3√2 и ∠B = 45°. Диагональ В₁С боковой грани составляет с плоскостью АА₁В₁В угол 30°. Найдите объем призмы.

Решение:

1. Найдем катеты треугольника ABC.

Так как \( \angle C = 90^\circ \) и \( \angle B = 45^\circ \), то \( \angle A = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ \).

Треугольник ABC — равнобедренный прямоугольный, \( AC = BC \).

По теореме Пифагора: \( AC^2 + BC^2 = AB^2 \).

\( 2 AC^2 = (3\sqrt{2})^2 = 18 \)

\( AC^2 = 9 \)

\( AC = 3 \). Следовательно, \( BC = 3 \) см.

2. Найдем высоту призмы.

Диагональ \( B_1C \) боковой грани \( BB_1C_1C \). Плоскость \( AA_1B_1B \) — это плоскость основания, содержащая ребро \( AB \).

Угол между прямой \( B_1C \) и плоскостью \( AA_1B_1B \) — это угол между \( B_1C \) и его проекцией на эту плоскость. Проекцией \( B_1C \) на плоскость \( AA_1B_1B \) является отрезок \( BC \).

Угол между \( B_1C \) и \( BC \) равен \( \angle B_1CB = 30^\circ \). (Проверим условие, угол 30° дан с плоскостью AA1B1B, а не с основанием).

Переформулируем условие: Диагональ \( B_1C \) боковой грани \( BB_1C_1C \) составляет с плоскостью основания \( ABC \) угол 30°.

Проекцией \( B_1C \) на плоскость основания \( ABC \) является отрезок \( BC \). Угол между \( B_1C \) и \( BC \) равен \( \angle B_1CB = 30^\circ \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник \( B_1CB \) (так как призма прямая, \( BB_1 \perp BC \)).

\( \text{tg}(\angle B_1CB) = \frac{BB_1}{BC} \)

\( \text{tg}(30^\circ) = \frac{BB_1}{3} \)

\( \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{BB_1}{3} \)

\( BB_1 = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} \) см.

Высота призмы \( h = BB_1 = \sqrt{3} \) см.

3. Найдем объем призмы.

Объем призмы равен произведению площади основания на высоту:

\( V = S_{осн} h \)

Площадь основания \( S_{осн} = \frac{1}{2} AC BC = \frac{1}{2} 3 3 = 4.5 \) см².

\( V = 4.5 \sqrt{3} = \frac{9\sqrt{3}}{2} \) см³.

Ответ: \( \frac{9\sqrt{3}}{2} \) см³.