9. Используйте свойства функций и решите неравенство log[3] x ≥ x - 4.

Решение:

Рассмотрим функцию \( f(x) = \log_3 x \) и \( g(x) = x - 4 \).

Найдем точки пересечения этих функций, решив уравнение \( \log_3 x = x - 4 \).

Подбором находим, что \( x = 9 \) является решением:

\( \log_3 9 = 2 \)

\( 9 - 4 = 5 \)

\( 2 \neq 5 \). Значит, \( x=9 \) не подходит.

Подбором находим, что \( x=3 \) является решением:

\( \log_3 3 = 1 \)

\( 3 - 4 = -1 \)

\( 1 \neq -1 \).

Подбором находим, что \( x=27 \) является решением:

\( \log_3 27 = 3 \)

\( 27 - 4 = 23 \)

\( 3 \neq 23 \).

Подбором находим, что \( x = 1 \) является решением:

\( \log_3 1 = 0 \)

\( 1 - 4 = -3 \)

\( 0 \neq -3 \).

Рассмотрим график функций. \( y = \log_3 x \) — логарифмическая функция, возрастающая. \( y = x - 4 \) — линейная функция, возрастающая.

При \( x=1 \), \( \log_3 1 = 0 \) и \( 1 - 4 = -3 \). \( 0 > -3 \).

При \( x=3 \), \( \log_3 3 = 1 \) и \( 3 - 4 = -1 \). \( 1 > -1 \).

При \( x=9 \), \( \log_3 9 = 2 \) и \( 9 - 4 = 5 \). \( 2 < 5 \).

При \( x=27 \), \( \log_3 27 = 3 \) и \( 27 - 4 = 23 \). \( 3 < 23 \).

Графики пересекаются в некоторой точке между 3 и 9.

Так как \( f(x) = \log_3 x \) возрастает медленнее, чем \( g(x) = x - 4 \) (после определенной точки), неравенство \( \log_3 x \ge x - 4 \) будет выполняться на интервале, где \( \log_3 x \) находится выше или на линии \( x - 4 \).

Проведем анализ графиков. \( y = \log_3 x \) имеет область определения \( x > 0 \).

Найдем точку, где \( \log_3 x = x - 4 \). Предположим, это \( x_0 \).

\( \log_3 x_0 = x_0 - 4 \).

Мы видим, что при \( x < x_0 \) \( \log_3 x > x - 4 \), а при \( x > x_0 \) \( \log_3 x < x - 4 \).

Попытаемся найти точку пересечения. Если \( x=1 \), \( \log_3 1 = 0 \), \( 1-4 = -3 \). \( 0 > -3 \).

Если \( x=3 \), \( \log_3 3 = 1 \), \( 3-4 = -1 \). \( 1 > -1 \).

Если \( x=9 \), \( \log_3 9 = 2 \), \( 9-4 = 5 \). \( 2 < 5 \).

Значит, точка пересечения \( x_0 \) находится между 3 и 9.

График \( y = \log_3 x \) выпуклый вниз, а \( y = x-4 \) — прямая.

Решение неравенства \( \log_3 x \ge x - 4 \) будет являться интервалом \( (0, x_0] \), где \( x_0 \) — корень уравнения \( \log_3 x = x - 4 \).

Точное значение \( x_0 \) найти аналитически сложно, но на экзаменах такие задачи решаются либо графически, либо с помощью оценки. По графику видно, что \( \log_3 x \) растет медленнее \( x-4 \) для больших \( x \).

Примечание: Без возможности точного нахождения корня \( \log_3 x = x - 4 \), ответ может быть представлен в виде \( (0, x_0] \), где \( x_0 \) — решение \( \log_3 x = x - 4 \).

Ответ: \( (0, x_0] \), где \( x_0 \) — решение уравнения \( \log_3 x = x - 4 \).