7. Высота правильной треугольной пирамиды равна √6 см, а боковая грань образует с основанием пирамиды угол в 60°. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Решение:

Обозначим высоту пирамиды как \( H = \sqrt{6} \) см. Угол между боковой гранью и основанием правильной треугольной пирамиды — это угол между апофемой боковой грани и радиусом вписанной окружности основания. Обозначим апофему как \( l \), а радиус вписанной окружности основания как \( r \).

1. В прямоугольном треугольнике, образованном высотой пирамиды \( H \), апофемой \( l \) и радиусом вписанной окружности \( r \), угол между \( l \) и \( r \) равен 60°.
2. Мы имеем: \( \cos(60^{\circ}) = \frac{r}{l} \) и \( \tan(60^{\circ}) = \frac{H}{r} \).
3. Из \( \tan(60^{\circ}) = \frac{H}{r} \) найдем \( r \):
\( \sqrt{3} = \frac{\sqrt{6}}{r} \) => \( r = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = \sqrt{2} \) см.
4. Из \( \cos(60^{\circ}) = \frac{r}{l} \) найдем \( l \):
\( \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{2}}{l} \) => \( l = 2\sqrt{2} \) см.
5. Площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему: \( S_{бок} = \frac{1}{2} P \cdot l \).
6. Найдем периметр основания \( P \). Радиус вписанной окружности правильного треугольника \( r = \frac{a}{2\sqrt{3}} \), где \( a \) — сторона треугольника.
\( \sqrt{2} = \frac{a}{2\sqrt{3}} \) => \( a = 2\sqrt{2}\sqrt{3} = 2\sqrt{6} \) см.
7. Периметр основания \( P = 3a = 3 \cdot 2\sqrt{6} = 6\sqrt{6} \) см.
8. Найдем площадь боковой поверхности:
\( S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot 6\sqrt{6} \cdot 2\sqrt{2} = 6 \sqrt{12} = 6 \cdot 2\sqrt{3} = 12\sqrt{3} \) см².

Ответ: \( 12\sqrt{3} \) см².