7. Высота правильной треугольной пирамиды равна √6 см, а боковая грань образует с основанием пирамиды угол в 60°. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Решение:

Пусть пирамида DABC, где ABC — основание. DM — апофема (высота боковой грани, опущенная на основание AB). DO — высота пирамиды, \( DO = \sqrt{6} \) см. OM — радиус вписанной окружности в основание.

Угол между боковой гранью и основанием — это угол между апофемой DM и проекцией апофемы на основание OM. По условию, \( \angle DMO = 60^\circ \).

В треугольнике DOM (прямоугольном, так как DO — высота):

\( \text{tg}(\angle DMO) = \frac{DO}{OM} \)

\( \text{tg}(60^\circ) = \frac{\sqrt{6}}{OM} \)

\( \sqrt{3} = \frac{\sqrt{6}}{OM} \)

\( OM = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = \sqrt{2} \) см.

OM — радиус вписанной окружности равностороннего треугольника ABC. Формула радиуса вписанной окружности: \( r = \frac{a}{2\sqrt{3}} \), где \( a \) — сторона основания.

\( OM = \frac{a}{2\sqrt{3}} \)

\( \sqrt{2} = \frac{a}{2\sqrt{3}} \)

\( a = 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{2} = 2\sqrt{6} \) см.

Площадь основания (равносторонний треугольник): \( S_{осн} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{(2\sqrt{6})^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{24 \sqrt{3}}{4} = 6\sqrt{3} \) см².

Найдем апофему DM:

\( \text{sin}(\angle DMO) = \frac{DO}{DM} \)

\( \text{sin}(60^\circ) = \frac{\sqrt{6}}{DM} \)

\( \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{DM} \)

\( DM = \frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{2} \) см.

Площадь боковой поверхности пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему:

\( S_{бок} = \frac{1}{2} P_{осн} DM \)

Периметр основания: \( P_{осн} = 3a = 3 \cdot 2\sqrt{6} = 6\sqrt{6} \) см.

\( S_{бок} = \frac{1}{2} (6\sqrt{6}) (2\sqrt{2}) = 6 \sqrt{12} = 6 2\sqrt{3} = 12\sqrt{3} \) см².

Ответ: 12√3 см².