8. Решите уравнение √[4]x + 2 + 12 = √x + 2.

Решение:

Пусть \( y = \sqrt{x+2} \). Тогда уравнение примет вид:

\( y + 12 = y^2 \)

\( y^2 - y - 12 = 0 \)

Решим квадратное уравнение относительно \( y \).

Дискриминант: \( D = (-1)^2 - 4(1)(-12) = 1 + 48 = 49 \).

Корни для \( y \):

\( y_1 = \frac{1 + \sqrt{49}}{2} = \frac{1 + 7}{2} = 4 \)

\( y_2 = \frac{1 - \sqrt{49}}{2} = \frac{1 - 7}{2} = -3 \)

Так как \( y = \sqrt{x+2} \), то \( y \) не может быть отрицательным. Значит, \( y = -3 \) — посторонний корень.

Рассмотрим \( y = 4 \):

\( \sqrt{x+2} = 4 \)

Возведем обе части в квадрат:

\( x+2 = 4^2 \)

\( x+2 = 16 \)

\( x = 14 \)

Проверка: \( \sqrt{14+2} + 12 = \sqrt{16} + 12 = 4 + 12 = 16 \). \( \sqrt{14+2} = \sqrt{16} = 4 \). \( 16 \neq 4 \).

Перечитаем условие. Там \( \sqrt[4]{x} + 2 + 12 = \sqrt{x} + 2 \).

Пусть \( y = \sqrt[4]{x} \). Тогда \( y^4 = x \) и \( y^2 = \sqrt{x} \).

Уравнение примет вид:

\( y + 2 + 12 = y^2 + 2 \)

\( y + 14 = y^2 + 2 \)

\( y^2 - y - 12 = 0 \)

Мы уже решали это уравнение для \( y \):

\( y_1 = 4 \) и \( y_2 = -3 \).

Так как \( y = \sqrt[4]{x} \), то \( y \) не может быть отрицательным. Значит, \( y = -3 \) — посторонний корень.

Рассмотрим \( y = 4 \):

\( \sqrt[4]{x} = 4 \)

Возведем обе части в 4-ю степень:

\( x = 4^4 = 256 \)

Проверка: \( \sqrt[4]{256} + 2 + 12 = 4 + 2 + 12 = 18 \). \( \sqrt{256} + 2 = 16 + 2 = 18 \).

Уравнение выполняется.

Ответ: 256