10. Основанием прямой призмы АВСА₁В₁С₁ является прямоугольный треугольник АВС (∠C = 90°), у которого АС = 3√2 и ∠A = 30°. Диагональ В₁С боковой грани составляет с плоскостью АА₁В₁ плоскость 30°. Найдите объем призмы.

Решение:

1. Найдем катеты прямоугольного треугольника ABC:

Дано: \( AC = 3\sqrt{2} \) (катет), \( \angle A = 30^\circ \).

\( \tan A = \frac{BC}{AC} \)

\( \tan 30^\circ = \frac{BC}{3\sqrt{2}} \)

\( \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{BC}{3\sqrt{2}} \)

\( BC = \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{6}}{3} = \sqrt{6} \) см.

\( \cos A = \frac{AC}{AB} \)

\( \cos 30^\circ = \frac{3\sqrt{2}}{AB} \)

\( \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{2}}{AB} \)

\( AB = \frac{3\sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{6}}{3} = 2\sqrt{6} \) см.

2. Найдем высоту призмы (ребро AA₁):

Диагональ \( B_1C \) боковой грани \( BB_1C_1C \) составляет с плоскостью \( AA_1B_1B \) угол 30°.

Плоскость \( AA_1B_1B \) перпендикулярна основанию \( ABC \).

Угол между диагональю \( B_1C \) и плоскостью \( AA_1B_1B \) равен углу между \( B_1C \) и её проекцией на эту плоскость. Проекцией \( B_1C \) на плоскость \( AA_1B_1B \) является отрезок \( B_1B \) (или \( CC_1 \)), если рассмотреть диагональ \( B_1C \) как вектор. Проекцией \( B_1C \) на плоскость \( AA_1B_1B \) является отрезок \( B_1B \), поскольку \( B_1B \) перпендикулярно \( BC \) и \( B_1B \) перпендикулярно \( B_1C_1 \), а \( B_1C \) лежит в плоскости \( BB_1C_1C \).

Нам дана диагональ \( B_1C \). Рассмотрим прямоугольный треугольник \( B_1BC \). Угол между \( B_1C \) и плоскостью \( AA_1B_1B \) равен углу между \( B_1C \) и \( BC \) (если \( BC \) перпендикулярно плоскости \( AA_1B_1B \), что не так) или углу между \( B_1C \) и \( BB_1 \) (если \( BB_1 \) перпендикулярно \( BC \), что также неверно).

Другое толкование: угол между диагональю \( B_1C \) и плоскостью \( AA_1B_1B \) — это угол между \( B_1C \) и её проекцией на эту плоскость. Проекцией \( B_1C \) на плоскость \( AA_1B_1B \) будет отрезок \( B_1B \), если \( BC \) перпендикулярно \( BB_1 \). Но \( BC \) параллельно \( B_1C_1 \), а \( BB_1 \) перпендикулярно \( BC \). Тогда проекция \( B_1C \) на плоскость \( AA_1B_1B \) будет отрезок \( B_1B \). Таким образом, искомый угол — это \( \angle CB_1B \).

В прямоугольном треугольнике \( B_1BC \) (где \( \angle B_1BC = 90^\circ \) так как \( BB_1 \) перпендикулярно плоскости основания):

\( \tan(\angle CB_1B) = \frac{BC}{BB_1} \)

\( \tan 30^\circ = \frac{\sqrt{6}}{BB_1} \)

\( \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{BB_1} \)

\( BB_1 = \sqrt{6} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \) см. Это высота призмы \( H = 3\sqrt{2} \) см.

3. Найдем площадь основания:

Площадь прямоугольного треугольника \( S_{осн} = \frac{1}{2} AC BC \)

\( S_{осн} = \frac{1}{2} 3\sqrt{2} \sqrt{6} = \frac{3\sqrt{12}}{2} = \frac{3\cdot 2\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} \) см².

4. Найдем объем призмы:

\( V = S_{осн} H \)

\( V = 3\sqrt{3} 3\sqrt{2} = 9\sqrt{6} \) см³.

Ответ: \( 9\sqrt{6} \) см³.