9. Используйте свойства функций и решите неравенство log₀,₅ x ≥ x - 6.

Решение:

Рассмотрим функцию \( y = \log_{0.5} x \) и \( y = x - 6 \).

Функция \( y = \log_{0.5} x \) — логарифмическая с основанием \( 0,5 < 1 \), она убывающая.

Функция \( y = x - 6 \) — линейная, возрастающая.

Найдем точки пересечения графиков:

\( \log_{0.5} x = x - 6 \)

Подберем целочисленные корни. Легко заметить, что \( x=4 \) является корнем:

\( \log_{0.5} 4 = -2 \)

\( 4 - 6 = -2 \)

Значит, \( x=4 \) — точка пересечения.

Попробуем \( x=16 \):

\( \log_{0.5} 16 = -4 \)

\( 16 - 6 = 10 \)

\( -4 \neq 10 \)

Попробуем \( x=2 \):

\( \log_{0.5} 2 = -1 \)

\( 2 - 6 = -4 \)

\( -1 \neq -4 \)

Попробуем \( x=8 \):

\( \log_{0.5} 8 = -3 \)

\( 8 - 6 = 2 \)

\( -3 \neq 2 \)

Так как \( y = \log_{0.5} x \) убывает, а \( y = x - 6 \) возрастает, они могут пересекаться не более чем в двух точках. Очевидно, что \( x=4 \) — одна из точек. Попробуем подобрать ещё один корень, например, \( x=0.25=1/4 \)

\( \log_{0.5} (1/4) = 2 \)

\( 1/4 - 6 = -5.75 \)

\( 2 \neq -5.75 \)

Рассмотрим функцию \( f(x) = \log_{0.5} x - (x - 6) \). Нам нужно найти, где \( f(x) \ge 0 \). Мы нашли, что \( f(4) = 0 \).

При \( x < 4 \) (и \( x>0 \)), \( \log_{0.5} x \) увеличивается, а \( x - 6 \) уменьшается, значит \( \log_{0.5} x > x - 6 \).

При \( x > 4 \), \( \log_{0.5} x \) уменьшается, а \( x - 6 \) увеличивается, значит \( \log_{0.5} x < x - 6 \).

Учитывая область определения логарифма \( x > 0 \).

Ответ: \( (0; 4] \).