9. Используйте свойства функций и решите неравенство log₀,₅ x ≥ x - 6

Решение:

Рассмотрим функцию \( f(x) = \log_{0.5} x \) и \( g(x) = x - 6 \).

Функция \( f(x) = \log_{0.5} x \) является убывающей, так как основание логарифма \( 0.5 < 1 \). Область определения: \( x > 0 \).

Функция \( g(x) = x - 6 \) является возрастающей.

Найдём точки пересечения этих функций. Попробуем угадать целочисленные корни.

Если \( x = 1 \): \( f(1) = \log_{0.5} 1 = 0 \), \( g(1) = 1 - 6 = -5 \). \( 0 \ge -5 \) (Верно). \( x=1 \) — решение.

Если \( x = 4 \): \( f(4) = \log_{0.5} 4 = -2 \) (так как \( 0.5^{-2} = (1/2)^{-2} = 2^2 = 4 \)), \( g(4) = 4 - 6 = -2 \). \( -2 \ge -2 \) (Верно). \( x=4 \) — решение.

Если \( x = 0.5 \): \( f(0.5) = \log_{0.5} 0.5 = 1 \), \( g(0.5) = 0.5 - 6 = -5.5 \). \( 1 \ge -5.5 \) (Верно). \( x=0.5 \) — решение.

Мы нашли два пересечения: \( x=1 \) и \( x=4 \).

Так как \( f(x) \) — убывающая, а \( g(x) \) — возрастающая, то неравенство \( f(x) ≥ g(x) \) будет выполняться для \( x \) из интервала, где график \( f(x) \) находится выше или на уровне графика \( g(x) \).

Это произойдёт на интервале от точки пересечения, где \( f(x) \) больше \( g(x) \), до точки пересечения, где \( f(x) \) равен \( g(x) \).

Учитывая, что \( x > 0 \), решениями являются \( x \) такие, что \( 0 < x ≤ 4 \) и \( x \) находится в интервале, где \( \log_{0.5} x ≥ x - 6 \).

При \( x=1 \) и \( x=4 \) равенство выполняется. При \( x ← 0^+ \), \( \log_{0.5} x → +\infty \), а \( x-6 → -6 \). Так что для малых \( x > 0 \) неравенство выполняется.

При \( x=5 \): \( \log_{0.5} 5 \) (это отрицательное число, меньше -2), \( g(5) = 5-6 = -1 \). \( \log_{0.5} 5 < -1 \). Неравенство не выполняется.

Таким образом, \( \log_{0.5} x ≥ x - 6 \) выполняется на интервале \( (0; 4] \).

Ответ: (0; 4].