10. Основания равнобедренной трапеции равны 4 и 7. В каком отношении её диагональ делит высоту, опущенную из вершины тупого угла?

Расположим большее основание длины 7 внизу, а меньшее длины 4 — сверху. В равнобедренной трапеции верхнее основание расположено симметрично нижнему, поэтому горизонтальный сдвиг каждого верхнего конца относительно соответствующего нижнего равен \((7-4)/2=3/2\).

Пусть высота трапеции равна \(h\). Диагональ от нижней вершины до противоположной верхней пересекает высоту, опущенную из верхней вершины тупого угла. По подобию прямоугольных треугольников высота от основания до точки пересечения составляет долю \(\dfrac{3/2}{3/2+4}=\dfrac{3}{11}\) от всей высоты. Оставшаяся часть равна \(\dfrac{8}{11}h\).

Значит, отрезки высоты от вершины тупого угла до точки пересечения и от точки пересечения до основания относятся как \(8:3\).

Ответ: \(8:3\), считая от вершины тупого угла.