9. Середины сторон параллелограмма соединили отрезками с его вершинами так, как показано на рисунке. Докажите, что полученные отрезки делят диагональ параллелограмма на три равные части.

Обозначим параллелограмм ABCD, а его диагональ — AC. Пусть вектор \(\overrightarrow{AB}=u\), а \(\overrightarrow{AD}=v\). Тогда можно считать, что A имеет координатный вектор 0, B — \(u\), D — \(v\), C — \(u+v\). Точки диагонали AC имеют вид \(\lambda(u+v)\).

Рассмотрим отрезок из D к середине AB. Середина AB имеет вектор \(u/2\). Точка этого отрезка задаётся выражением \(v+t(u/2-v)\). При пересечении с AC коэффициенты при u и v равны: \(t/2=1-t\), откуда \(t=2/3\). Тогда \(\lambda=t/2=1/3\): пересечение находится на одной трети диагонали от A.

Для второго отрезка — из B к середине CD — точка имеет вид \(u+t(v-u/2)\). При пересечении с AC получаем \(1-t/2=t\), откуда \(t=2/3\) и \(\lambda=2/3\). Это точка на двух третях диагонали от A.

Следовательно, точки пересечения делят AC на три равные части.