13. Прямая делит одну сторону параллелограмма пополам, а противоположную сторону в отношении 1 : 3. В каких отношениях она делит диагонали параллелограмма?

Обозначим точку пересечения прямой с первой стороной через P, а со второй — через Q. Пусть P — середина стороны. На противоположной стороне положение Q может соответствовать любому из двух направлений отношения 1:3.

Для проверки зададим параллелограмм координатами A(0,0), B(1,0), D(0,1), C(1,1). Если P=(1/2,0), то Q имеет координату по горизонтали 1/4 или 3/4. Подстановка уравнений диагоналей AC и BD показывает, что одна диагональ делится в отношении 2:3, а другая — 2:1; при смене направления отношения 1:3 эти два результата меняются местами.

Ответ: диагонали делятся в отношениях 2:1 и 2:3, порядок зависит от того, с какого конца противоположной стороны отсчитывают отношение 1:3.