8. В треугольник ABC вписали ромб MBKE так, что его вершина E лежит на стороне AC, а вершины M и K лежат на других сторонах треугольника. Найдите сторону ромба, если AM = 4, CK = 9.

Обозначим сторону ромба через \(s\). Тогда \(BM=BK=s\), поэтому \(AB=s+4\), а \(BC=s+9\).

Так как противоположные стороны ромба параллельны, точка E лежит на AC только тогда, когда доли сторон AB и BC, отложенные от вершины B до точек M и K, в сумме составляют 1:

\(\dfrac{s}{s+4}+\dfrac{s}{s+9}=1\).

Умножим на \((s+4)(s+9)\): \(s(2s+13)=(s+4)(s+9)\). После раскрытия скобок получаем \(s^2=36\). Длина положительна, значит \(s=6\).

Ответ: 6.