10. Отрезок АВ = 40 касается окружности радиуса 75 с центром О в точке В. Окружность пересекает отрезок АО в точке D. Найдите AD.

Дано:

• Окружность с центром О и радиусом R = 75.
• Отрезок АВ касается окружности в точке В.
• АВ = 40.
• Точка D лежит на отрезке АО и на окружности.

Найти: Длину отрезка AD.

Решение:

1. Прямоугольный треугольник АВО: Так как отрезок АВ касается окружности в точке В, то радиус ОВ перпендикулярен касательной АВ. Следовательно, ∠ АВО = 90°. Треугольник АВО является прямоугольным.
2. Найдем длину АО: По теореме Пифагора в △ АВО:

$$ AO^2 = AB^2 + OB^2 $$

OB - это радиус окружности, OB = R = 75.

$$ AO^2 = 40^2 + 75^2 $$

$$ AO^2 = 1600 + 5625 $$

$$ AO^2 = 7225 $$

$$ AO = √7225 $$

Найдем корень из 7225. Число заканчивается на 25, значит, корень заканчивается на 5. 80*80=6400, 90*90=8100. Попробуем 85*85 = 7225.

$$ AO = 85 $$

3. Найдем длину AD: Точка D лежит на отрезке АО и на окружности. Это значит, что OD - это радиус окружности, OD = R = 75.

Отрезок АО состоит из отрезков AD и DO:

$$ AO = AD + DO $$

$$ 85 = AD + 75 $$

$$ AD = 85 - 75 $$

$$ AD = 10 $$

Ответ: 10.