8. Отрезки АВ и CD являются хордами окружности. Найдите длину хорды CD, если АВ = 20, а расстояния от центра окружности до хорд АВ и СД равны соответственно 24 и 10.

Дано:

• Окружность с центром О.
• Хорды АВ и CD.
• АВ = 20.
• Расстояние от О до АВ (d1) = 24.
• Расстояние от О до CD (d2) = 10.

Найти: Длину хорды CD.

Решение:

1. Радиус окружности: Сначала найдем радиус окружности, используя данные о хорде АВ. Перпендикуляр из центра окружности к хорде делит ее пополам. Значит, половина хорды АВ равна $$20 / 2 = 10$$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом, половиной хорды АВ и расстоянием от центра до хорды. По теореме Пифагора:

$$ R^2 = (\frac{AB}{2})^2 + d1^2 $$

$$ R^2 = 10^2 + 24^2 $$

$$ R^2 = 100 + 576 $$

$$ R^2 = 676 $$

$$ R = √676 $$

Найдем корень из 676. Заметим, что 20*20=400, 30*30=900. Число заканчивается на 6, значит, корень может заканчиваться на 4 или 6. Проверим 26*26 = 676.

$$ R = 26 $$

2. Длина хорды CD: Теперь используем найденный радиус R=26 и расстояние от центра до хорды CD (d2=10) для нахождения половины хорды CD. Пусть половина хорды CD равна x.

$$ R^2 = x^2 + d2^2 $$

$$ 26^2 = x^2 + 10^2 $$

$$ 676 = x^2 + 100 $$

$$ x^2 = 676 - 100 $$

$$ x^2 = 576 $$

$$ x = √576 $$

Найдем корень из 576. 20*20=400, 30*30=900. Число заканчивается на 6, значит, корень может заканчиваться на 4 или 6. Проверим 24*24 = 576.

$$ x = 24 $$

3. Полная длина хорды CD:

$$ CD = 2 \times x = 2 \times 24 = 48 $$

Ответ: 48.