6. Вершины треугольника делят описанную около него окружность на три дуги, длины которых относятся как 3:4:11. Найдите радиус окружности, если меньшая из сторон равна 14.

Дано:

• Окружность с описанным △ ABC.
• Длины дуг, на которые делят вершины окружность, относятся как 3:4:11.
• Меньшая сторона треугольника равна 14.

Найти: Радиус окружности (R).

Решение:

1. Соотношение дуг и углов: Длины дуг окружности пропорциональны соответствующим центральным углам, опирающимся на эти дуги. Пусть части относятся как 3x, 4x, 11x.
2. Полная окружность: Сумма углов, соответствующих полному кругу, равна 360°.

$$ 3x + 4x + 11x = 360^\circ $$

$$ 18x = 360^\circ $$

$$ x = \frac{360^\circ}{18} = 20^\circ $$

3. Центральные углы:

• Первый угол: $$3 \times 20^\circ = 60^\circ$$.
• Второй угол: $$4 \times 20^\circ = 80^\circ$$.
• Третий угол: $$11 \times 20^\circ = 220^\circ$$.

4. Стороны треугольника: Сторона треугольника, лежащая напротив центрального угла, может быть найдена по теореме косинусов или через соотношение:

$$ a = 2R \times \text{sin}(\frac{α}{2}) $$

где 'a' - сторона треугольника, R - радиус описанной окружности, α - соответствующий центральный угол.

5. Определение меньшей стороны: Меньшая сторона треугольника будет лежать напротив наименьшего центрального угла. В данном случае, наименьший центральный угол - 60°. Значит, сторона, равная 14, лежит напротив угла 60°.

6. Расчет радиуса: Используем формулу для стороны, противолежащей углу 60°:

$$ 14 = 2R \times \text{sin}(\frac{60^\circ}{2}) $$

$$ 14 = 2R \times \text{sin}(30^\circ) $$

$$ 14 = 2R \times \frac{1}{2} $$

$$ 14 = R $$

Ответ: 14.