4. В треугольнике АВС угол C равен 90°, AC=30, BC=5√13. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Дано:

• △ ABC.
• ∠ C = 90°.
• AC = 30.
• BC = 5√13.

Найти: Радиус окружности, описанной около △ ABC (R).

Решение:

Для прямоугольного треугольника радиус описанной окружности равен половине длины гипотенузы.

1. Найдем длину гипотенузы AB по теореме Пифагора:

$$ AB^2 = AC^2 + BC^2 $$

$$ AB^2 = 30^2 + (5√13)^2 $$

$$ AB^2 = 900 + (25 \times 13) $$

$$ AB^2 = 900 + 325 $$

$$ AB^2 = 1225 $$

$$ AB = √1225 $$

Для извлечения корня из 1225: можно заметить, что 1225 оканчивается на 25, значит, корень будет оканчиваться на 5. Проверим 30*30 = 900, 40*40 = 1600. Значит, корень находится между 30 и 40. Попробуем 35*35 = 1225.

$$ AB = 35 $$

2. Найдем радиус описанной окружности:

$$ R = \frac{AB}{2} $$

$$ R = \frac{35}{2} $$

$$ R = 17.5 $$

Ответ: 17.5.