10. Решите уравнение: 2 sin 2x = 4 cos x - sin x + 1

Решение:

Заменим \( \sin 2x \) на \( 2 \sin x \cos x \) по формуле двойного угла:

\[ 2(2 \sin x \cos x) = 4 \cos x - \sin x + 1 \]

\[ 4 \sin x \cos x = 4 \cos x - \sin x + 1 \]

Перенесём все члены уравнения в одну сторону:

\[ 4 \sin x \cos x - 4 \cos x + \sin x - 1 = 0 \]

Сгруппируем слагаемые:

\[ (4 \sin x \cos x - 4 \cos x) + (\sin x - 1) = 0 \]

\[ 4 \cos x (\sin x - 1) + (\sin x - 1) = 0 \]

Вынесем общий множитель \( (\sin x - 1) \):

\[ (\sin x - 1)(4 \cos x + 1) = 0 \]

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

Случай 1: \( \sin x - 1 = 0 \)

\[ \sin x = 1 \]

Это частный случай. Решение: \( x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \), где \( k \) — любое целое число.

Случай 2: \( 4 \cos x + 1 = 0 \)

\[ 4 \cos x = -1 \]

\[ \cos x = -\frac{1}{4} \]

Решение этого уравнения: \( x = \pm \arccos\left(-\frac{1}{4}\right) + 2\pi n \), где \( n \) — любое целое число.

Ответ: \( x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \) и \( x = \pm \arccos\left(-\frac{1}{4}\right) + 2\pi n \), где \( k, n \) — целые числа.