7. Найдите производную: (cosx/√x)'

Решение:

Для нахождения производной функции \( y = \frac{\cos x}{\sqrt{x}} \) используем правило дифференцирования частного: \( \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \).

Здесь \( u = \cos x \) и \( v = \sqrt{x} = x^{1/2} \).

Найдем производные \( u' \) и \( v' \):

\( u' = (\cos x)' = -\sin x \).

\( v' = (x^{1/2})' = \frac{1}{2}x^{1/2 - 1} = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}} \).

Теперь подставим найденные значения в формулу производной частного:

\[ y' = \frac{(-\sin x) \cdot \sqrt{x} - \cos x \cdot \left(\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)}{(\sqrt{x})^2} \]

\[ y' = \frac{-\sqrt{x} \sin x - \frac{\cos x}{2\sqrt{x}}}{x} \]

Приведём числитель к общему знаменателю \( 2\sqrt{x} \):

\[ y' = \frac{\frac{-2\sqrt{x}\sqrt{x} \sin x - \cos x}{2\sqrt{x}}}{x} \]

\[ y' = \frac{-2x \sin x - \cos x}{2\sqrt{x} \cdot x} \]

\[ y' = \frac{-2x \sin x - \cos x}{2x\sqrt{x}} \]

Можно также вынести знак минус:

\[ y' = -\frac{2x \sin x + \cos x}{2x\sqrt{x}} \]

Ответ: \( -\frac{2x \sin x + \cos x}{2x\sqrt{x}} \)