4. Упростите выражение: -4√3cos(-930°)

Решение:

Для упрощения выражения \( -4\sqrt{3}\cos(-930^{\circ}) \) используем свойства косинуса:

1. Чётность косинуса: \( \cos(-\alpha) = \cos(\alpha) \).

Таким образом, \( \cos(-930^{\circ}) = \cos(930^{\circ}) \).

Теперь вычислим \( \cos(930^{\circ}) \). Период косинуса равен \( 360^{\circ} \). Найдем, сколько полных периодов содержится в \( 930^{\circ} \):

\[ 930^{\circ} = 2 \cdot 360^{\circ} + 210^{\circ} \]

Следовательно, \( \cos(930^{\circ}) = \cos(210^{\circ}) \).

Угол \( 210^{\circ} \) находится в третьей четверти. Его можно представить как \( 180^{\circ} + 30^{\circ} \).

Для углов \( 180^{\circ} + \alpha \) справедливо равенство \( \cos(180^{\circ} + \alpha) = -\cos(\alpha) \).

Значит, \( \cos(210^{\circ}) = \cos(180^{\circ} + 30^{\circ}) = -\cos(30^{\circ}) \).

Значение \( \cos(30^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \).

Следовательно, \( \cos(210^{\circ}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \).

Теперь подставим полученное значение обратно в исходное выражение:

\[ -4\sqrt{3} \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \]

Выполним умножение:

\[ -4\sqrt{3} \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 4 \cdot \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} = 4 \cdot \frac{3}{2} = \frac{12}{2} = 6 \]

Ответ: 6