8. Вычислите определенный интеграл: ∫(от 1 до 2) (6x^2 - 4x + 1) dx

Решение:

Для вычисления определенного интеграла \( \int_{1}^{2} (6x^2 - 4x + 1) dx \) найдем первообразную функции \( f(x) = 6x^2 - 4x + 1 \) и затем применим формулу Ньютона-Лейбница.

Первообразная \( F(x) \) находится по правилу интегрирования степенной функции \( \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \).

\( F(x) = \int (6x^2 - 4x + 1) dx = 6 \int x^2 dx - 4 \int x dx + \int 1 dx \)

\[ F(x) = 6 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} - 4 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} + x \]

\[ F(x) = 6 \cdot \frac{x^3}{3} - 4 \cdot \frac{x^2}{2} + x \]

\[ F(x) = 2x^3 - 2x^2 + x \]

Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница: \( \int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) \).

\( F(2) = 2(2)^3 - 2(2)^2 + 2 = 2(8) - 2(4) + 2 = 16 - 8 + 2 = 10 \).

\( F(1) = 2(1)^3 - 2(1)^2 + 1 = 2(1) - 2(1) + 1 = 2 - 2 + 1 = 1 \).

\( \int_{1}^{2} (6x^2 - 4x + 1) dx = F(2) - F(1) = 10 - 1 = 9 \).

Ответ: 9