12. Найдите промежутки монотонности и точки экстремума функции: y = 1/3 x^3 + 5/2 x^2 - 6x + 4

Решение:

Для нахождения промежутков монотонности и точек экстремума функции \( y = \frac{1}{3}x^3 + \frac{5}{2}x^2 - 6x + 4 \) необходимо найти её производную, приравнять её к нулю и проанализировать знаки производной.

1. Найдём производную функции:

\[ y' = \left(\frac{1}{3}x^3 + \frac{5}{2}x^2 - 6x + 4\right)' \]

\[ y' = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 + \frac{5}{2} \cdot 2x - 6 \]

\[ y' = x^2 + 5x - 6 \]

2. Приравняем производную к нулю и найдём критические точки:

\[ x^2 + 5x - 6 = 0 \]

Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = 5^2 - 4(1)(-6) = 25 + 24 = 49 \).

Корни: \( x_1 = \frac{-5 - \sqrt{49}}{2} = \frac{-5 - 7}{2} = \frac{-12}{2} = -6 \)

\( x_2 = \frac{-5 + \sqrt{49}}{2} = \frac{-5 + 7}{2} = \frac{2}{2} = 1 \)

Критические точки: \( x = -6 \) и \( x = 1 \).

3. Определим промежутки монотонности (знаки производной):

Критические точки разбивают числовую ось на три интервала: \( (-\infty, -6) \), \( (-6, 1) \), \( (1, \infty) \).

• На интервале \( (-\infty, -6) \): Возьмём тестовое значение, например, \( x = -7 \). \( y'(-7) = (-7)^2 + 5(-7) - 6 = 49 - 35 - 6 = 8 > 0 \). Функция возрастает.
• На интервале \( (-6, 1) \): Возьмём тестовое значение, например, \( x = 0 \). \( y'(0) = 0^2 + 5(0) - 6 = -6 < 0 \). Функция убывает.
• На интервале \( (1, \infty) \): Возьмём тестовое значение, например, \( x = 2 \). \( y'(2) = 2^2 + 5(2) - 6 = 4 + 10 - 6 = 8 > 0 \). Функция возрастает.

4. Определим точки экстремума:

• При переходе через \( x = -6 \) производная меняет знак с \( + \) на \( - \), значит, в точке \( x = -6 \) — локальный максимум.
• При переходе через \( x = 1 \) производная меняет знак с \( - \) на \( + \), значит, в точке \( x = 1 \) — локальный минимум.

Найдем значения функции в точках экстремума:

\( y(-6) = \frac{1}{3}(-6)^3 + \frac{5}{2}(-6)^2 - 6(-6) + 4 = \frac{1}{3}(-216) + \frac{5}{2}(36) + 36 + 4 = -72 + 5 \cdot 18 + 40 = -72 + 90 + 40 = 58 \).

\( y(1) = \frac{1}{3}(1)^3 + \frac{5}{2}(1)^2 - 6(1) + 4 = \frac{1}{3} + \frac{5}{2} - 6 + 4 = \frac{1}{3} + \frac{5}{2} - 2 = \frac{2 + 15 - 12}{6} = \frac{5}{6} \).

Ответ:

Промежутки монотонности:

• Функция возрастает на \( (-\infty, -6] \) и \( [1, \infty) \).
• Функция убывает на \( [-6, 1] \).

Точки экстремума:

• Точка максимума: \( (-6; 58) \).
• Точка минимума: \( (1; 5/6) \).