10. Решите уравнение: 2 sin² x + cos x - 1 = 0

Решение:

1. Используем основное тригонометрическое тождество \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \), откуда \( \sin^2 x = 1 - \cos^2 x \). Подставим это в уравнение:

$$ 2(1 - \cos^2 x) + \cos x - 1 = 0 $$

2. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$$ 2 - 2\cos^2 x + \cos x - 1 = 0 $$$$ -2\cos^2 x + \cos x + 1 = 0 $$

3. Умножим уравнение на -1 для удобства:

$$ 2\cos^2 x - \cos x - 1 = 0 $$

4. Сделаем замену переменной: пусть \( t = \cos x \). Получим квадратное уравнение:

$$ 2t^2 - t - 1 = 0 $$

5. Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4(2)(-1) = 1 + 8 = 9 \).

$$ t_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{9}}{2(2)} = \frac{1 + 3}{4} = \frac{4}{4} = 1 $$$$ t_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{9}}{2(2)} = \frac{1 - 3}{4} = \frac{-2}{4} = -0.5 $$

6. Теперь вернемся к замене \( t = \cos x \) и решим два простейших тригонометрических уравнения:

\( \cos x = 1 \) \(\implies\) \( x = 2\pi k \), где \( k \) — целое число.
\( \cos x = -0.5 \) \(\implies\) \( x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \), где \( n \) — целое число.

Ответ: $$x = 2\pi k$$ или $$x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$$, где $$k, n \in \mathbb{Z}$$.