12. Найдите промежутки монотонности и точки экстремума функции: y = (2/3)x³ + (1/2)x² - 2

Решение:

1. Найдем производную функции:

$$ y' = \left( \frac{2}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 - 2 \right)' = \frac{2}{3} \cdot 3x^2 + \frac{1}{2} \cdot 2x = 2x^2 + x $$

2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$$ 2x^2 + x = 0 $$$$ x(2x + 1) = 0 $$

Отсюда \( x_1 = 0 \) и \( x_2 = -0.5 \).

3. Определим знаки производной на интервалах, образованных критическими точками:

• Интервал \( (-\infty, -0.5) \): Возьмем \( x = -1 \). \( y'(-1) = 2(-1)^2 + (-1) = 2 - 1 = 1 > 0 \). Функция возрастает.
• Интервал \( (-0.5, 0) \): Возьмем \( x = -0.25 \). \( y'(-0.25) = 2(-0.25)^2 + (-0.25) = 2(0.0625) - 0.25 = 0.125 - 0.25 = -0.125 < 0 \). Функция убывает.
• Интервал \( (0, \infty) \): Возьмем \( x = 1 \). \( y'(1) = 2(1)^2 + 1 = 2 + 1 = 3 > 0 \). Функция возрастает.

4. Найдем значения функции в точках экстремума:

• В точке \( x = -0.5 \) (максимум, так как производная меняет знак с '+' на '-'):

$$ y(-0.5) = \frac{2}{3}(-0.5)^3 + \frac{1}{2}(-0.5)^2 - 2 = \frac{2}{3}(-0.125) + \frac{1}{2}(0.25) - 2 = \frac{2}{3}(-\frac{1}{8}) + \frac{1}{2}(\frac{1}{4}) - 2 = -\frac{1}{12} + \frac{1}{8} - 2 $$

Приведем к общему знаменателю 24:

$$ y(-0.5) = \frac{-2 + 3}{24} - 2 = \frac{1}{24} - 2 = \frac{1 - 48}{24} = -\frac{47}{24} $$

• В точке \( x = 0 \) (минимум, так как производная меняет знак с '-' на '+'):

$$ y(0) = \frac{2}{3}(0)^3 + \frac{1}{2}(0)^2 - 2 = 0 + 0 - 2 = -2 $$

Ответ:

• Промежутки монотонности:
• Возрастает на \( (-\infty, -0.5] \) и \( [0, \infty) \).
• Убывает на \( [-0.5, 0] \).
• Точки экстремума:
• Максимум в точке \( x = -0.5 \), \( y_{max} = -\frac{47}{24} \).
• Минимум в точке \( x = 0 \), \( y_{min} = -2 \).