8. Вычислите определенный интеграл: ∫₁² (5x⁴ - 6x + 1) dx

Решение:

Сначала найдем первообразную для функции \( 5x^4 - 6x + 1 \).

$$ \int (5x^4 - 6x + 1) dx = 5\frac{x^5}{5} - 6\frac{x^2}{2} + x + C = x^5 - 3x^2 + x + C $$

Теперь вычислим определенный интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница \( \int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a) \), где \( F(x) \) — первообразная.

$$ \int_1^2 (5x^4 - 6x + 1) dx = [x^5 - 3x^2 + x]_1^2 $$

Подставим верхний предел (2):

$$ F(2) = (2)^5 - 3(2)^2 + 2 = 32 - 3(4) + 2 = 32 - 12 + 2 = 22 $$

Подставим нижний предел (1):

$$ F(1) = (1)^5 - 3(1)^2 + 1 = 1 - 3 + 1 = -1 $$

Вычислим разность:

$$ F(2) - F(1) = 22 - (-1) = 22 + 1 = 23 $$

Ответ: 23