10. Решите уравнение 2 sin² x + sin x · cos x + 9 cos² x = 5 и найдите его наибольший отрицательный корень.

При \(\cos x=0\) левая часть равна 2, поэтому такие x не являются решениями. Делим уравнение на \(\cos^2 x\) и используем \(\frac{1}{\cos^2 x}=1+\tan^2 x\):

\(2\tan^2 x+\tan x+9=5(1+\tan^2 x)\), откуда \(3\tan^2 x-\tan x-4=0\).

\((3\tan x-4)(\tan x+1)=0\), поэтому \(\tan x=\frac43\) или \(\tan x=-1\).

Общее решение: \(x=\arctan\frac43+\pi k\) или \(x=-\frac{\pi}{4}+\pi k\), где \(k\in\mathbb Z\). Ближайший к нулю отрицательный корень второй серии равен \(-\frac{\pi}{4}\); отрицательные корни первой серии меньше.

Ответ: наибольший отрицательный корень — \(-\frac{\pi}{4}\).