10. Решите уравнение 2 sin² x + sin x · cos x + 9 cos² x = 5. Найдите наибольший отрицательный и наименьший положительный корни.

При \(\cos x=0\) левая часть равна 2, поэтому решений среди таких значений нет. Делим уравнение на \(\cos^2x\) и используем \(\frac{1}{\cos^2x}=1+\tan^2x\):

\[2\tan^2x+\tan x+9=5(1+\tan^2x).\]

Переносим всё в одну часть и упрощаем:

\[3\tan^2x-\tan x-4=0,\qquad (\tan x-\frac43)(\tan x+1)=0.\]

Следовательно, \(\tan x=\frac43\) или \(\tan x=-1\). Все корни:

\[x=\arctan\frac43+\pi k\quad\text{или}\quad x=-\frac{\pi}{4}+\pi k,\qquad k\in\mathbb Z.\]

Наименьший положительный корень — \(\arctan\frac43\). Среди отрицательных корней наибольший — \(-\frac{\pi}{4}\).

Ответ: наибольший отрицательный корень \(-\frac{\pi}{4}\); наименьший положительный корень \(\arctan\frac43\).