10. Решите уравнение: 2cos²x-3√3 cosx+3=0

Решение:

Это квадратное уравнение относительно \( \cos x \). Сделаем замену переменной: пусть \( y = \cos x \). Тогда уравнение примет вид:

\( 2y^2 - 3\sqrt{3}y + 3 = 0 \)

1. Найдем дискриминант квадратного уравнения: \( D = b^2 - 4ac \).
2. \( D = (-3\sqrt{3})^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = (9 \cdot 3) - 24 = 27 - 24 = 3 \).
3. Найдем корни уравнения для \( y \): \( y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \).
4. \( y_1 = \frac{3\sqrt{3} + \sqrt{3}}{2 \cdot 2} = \frac{4\sqrt{3}}{4} = \sqrt{3} \).
5. \( y_2 = \frac{3\sqrt{3} - \sqrt{3}}{2 \cdot 2} = \frac{2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2} \).
6. Теперь вернёмся к замене \( y = \cos x \).
7. Рассмотрим \( \cos x = \sqrt{3} \). Так как \( \sqrt{3} \approx 1.732 \) и \( \cos x \) не может быть больше 1, это уравнение не имеет решений.
8. Рассмотрим \( \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2} \). Это частный случай, где \( x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n \), где \( n \) — любое целое число.

Ответ: \( x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} \)