11. Решите неравенство: log2,7(x-7)<1

Решение:

Для решения логарифмического неравенства учтем два условия:

1. Определим область допустимых значений (ОДЗ): Логарифм определён только для положительных чисел, поэтому аргумент логарифма должен быть больше нуля: \( x - 7 > 0 \), что означает \( x > 7 \).
2. Преобразуем неравенство: Основание логарифма \( 2.7 \) больше 1. Поэтому при снятии логарифма знак неравенства сохраняется. Представим 1 как логарифм по основанию 2.7: \( 1 = \log_{2.7} 2.7 \).
3. Неравенство примет вид: \( \log_{2.7}(x-7) < \log_{2.7} 2.7 \).
4. Снимаем логарифм: \( x - 7 < 2.7 \).
5. Решаем полученное линейное неравенство: \( x < 2.7 + 7 \), что означает \( x < 9.7 \).
6. Объединим решения ОДЗ и полученного неравенства: У нас есть \( x > 7 \) и \( x < 9.7 \).
7. Следовательно, решение неравенства: \( 7 < x < 9.7 \).

Ответ: \( 7 < x < 9.7 \)