8. Вычислите определенный интеграл: ∫₁² (8x³ – 8x + 3) dx

Решение:

Для вычисления определенного интеграла найдем первообразную подынтегральной функции и вычислим её значение на верхнем и нижнем пределах интегрирования.

1. Найдем первообразную для \( 8x^3 \): \( \frac{8x^{3+1}}{3+1} = \frac{8x^4}{4} = 2x^4 \).
2. Найдем первообразную для \( -8x \): \( \frac{-8x^{1+1}}{1+1} = \frac{-8x^2}{2} = -4x^2 \).
3. Найдем первообразную для \( 3 \): \( 3x \).
4. Первообразная всей функции: \( F(x) = 2x^4 - 4x^2 + 3x \).
5. Вычислим значение первообразной на верхнем пределе \( x=2 \): \( F(2) = 2(2)^4 - 4(2)^2 + 3(2) = 2(16) - 4(4) + 6 = 32 - 16 + 6 = 22 \).
6. Вычислим значение первообразной на нижнем пределе \( x=1 \): \( F(1) = 2(1)^4 - 4(1)^2 + 3(1) = 2(1) - 4(1) + 3 = 2 - 4 + 3 = 1 \).
7. Вычислим определенный интеграл, вычитая значение на нижнем пределе из значения на верхнем пределе: \( \int_1^2 (8x^3 – 8x + 3) dx = F(2) - F(1) = 22 - 1 = 21 \).

Ответ: 21