5. Вычислите предел: lim x→1 (x³-1)/(x-1)

Решение:

При подстановке \( x = 1 \) в выражение получим неопределённость вида \( \frac{0}{0} \). Поэтому воспользуемся формулой разности кубов: \( a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) \).

1. Разложим числитель \( x^3 - 1 \) на множители: \( x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1) \).
2. Подставим разложение в предел: \[ \lim_{x\to 1} \frac{(x - 1)(x^2 + x + 1)}{x - 1} \].
3. Сократим \( (x - 1) \), так как \( x \to 1 \), то \( x \neq 1 \): \[ \lim_{x\to 1} (x^2 + x + 1) \].
4. Подставим \( x = 1 \) в оставшееся выражение: \( 1^2 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 = 3 \).

Ответ: 3