12. Найдите промежутки монотонности и точки экстремума функции: у = 1/4x⁴ + 1/3x³ - x² + 18

Решение:

Для нахождения промежутков монотонности и точек экстремума функции необходимо найти её первую производную, приравнять её к нулю и исследовать знаки производной.

1. Найдем производную функции: \( y' = (\frac{1}{4}x^4 + \frac{1}{3}x^3 - x^2 + 18)' \).
2. \( y' = \frac{1}{4} \cdot 4x^3 + \frac{1}{3} \cdot 3x^2 - 2x = x^3 + x^2 - 2x \).
3. Приравняем производную к нулю и найдем критические точки: \( x^3 + x^2 - 2x = 0 \).
4. Вынесем \( x \) за скобки: \( x(x^2 + x - 2) = 0 \).
5. Решим квадратное уравнение \( x^2 + x - 2 = 0 \). По теореме Виета или через дискриминант: \( (x+2)(x-1) = 0 \).
6. Корни квадратного уравнения: \( x = -2 \) и \( x = 1 \).
7. Таким образом, критические точки: \( x = -2, x = 0, x = 1 \).
8. Исследуем знаки производной на интервалах:
9. Интервал \( (-\infty, -2) \): Возьмем \( x = -3 \). \( y'(-3) = (-3)((-3)^2 + (-3) - 2) = -3(9 - 3 - 2) = -3(4) = -12 \) (минус). Функция убывает.
10. Интервал \( (-2, 0) \): Возьмем \( x = -1 \). \( y'(-1) = (-1)((-1)^2 + (-1) - 2) = -1(1 - 1 - 2) = -1(-2) = 2 \) (плюс). Функция возрастает.
11. Интервал \( (0, 1) \): Возьмем \( x = 0.5 \). \( y'(0.5) = 0.5((0.5)^2 + 0.5 - 2) = 0.5(0.25 + 0.5 - 2) = 0.5(-1.25) = -0.625 \) (минус). Функция убывает.
12. Интервал \( (1, +\infty) \): Возьмем \( x = 2 \). \( y'(2) = 2(2^2 + 2 - 2) = 2(4) = 8 \) (плюс). Функция возрастает.
13. Определим точки экстремума:
14. В точке \( x = -2 \) производная меняет знак с минуса на плюс — это точка минимума.
15. В точке \( x = 0 \) производная меняет знак с плюса на минус — это точка максимума.
16. В точке \( x = 1 \) производная меняет знак с минуса на плюс — это точка минимума.
17. Найдем значения функции в точках экстремума:
18. При \( x = -2 \): \( y(-2) = \frac{1}{4}(-2)^4 + \frac{1}{3}(-2)^3 - (-2)^2 + 18 = \frac{1}{4}(16) + \frac{1}{3}(-8) - 4 + 18 = 4 - \frac{8}{3} + 14 = 18 - \frac{8}{3} = \frac{54-8}{3} = \frac{46}{3} \).
19. При \( x = 0 \): \( y(0) = \frac{1}{4}(0)^4 + \frac{1}{3}(0)^3 - (0)^2 + 18 = 18 \).
20. При \( x = 1 \): \( y(1) = \frac{1}{4}(1)^4 + \frac{1}{3}(1)^3 - (1)^2 + 18 = \frac{1}{4} + \frac{1}{3} - 1 + 18 = \frac{3+4}{12} + 17 = \frac{7}{12} + 17 = \frac{7 + 204}{12} = \frac{211}{12} \).

Промежутки монотонности:

• Функция убывает на \( (-\infty, -2] \) и \( [0, 1] \).
• Функция возрастает на \( [-2, 0] \) и \( [1, +\infty) \).

Точки экстремума:

• Точка минимума: \( x = -2 \), \( y = \frac{46}{3} \).
• Точка максимума: \( x = 0 \), \( y = 18 \).
• Точка минимума: \( x = 1 \), \( y = \frac{211}{12} \).

Ответ: Промежутки монотонности: убывает на \( (-\infty, -2] \) и \( [0, 1] \), возрастает на \( [-2, 0] \) и \( [1, +\infty) \). Точки экстремума: \( (-2, \frac{46}{3}) \) — минимум, \( (0, 18) \) — максимум, \( (1, \frac{211}{12}) \) — минимум.