7. Найдите производную: (√x · eˣ)'

Решение:

Для нахождения производной произведения двух функций \( u(x) = \sqrt{x} \) и \( v(x) = e^x \) используем правило производной произведения: \( (uv)' = u'v + uv' \).

1. Найдем производную \( u'(x) \) от \( \sqrt{x} \). Представим \( \sqrt{x} \) как \( x^{1/2} \). Тогда \( u'(x) = \frac{1}{2} x^{1/2 - 1} = \frac{1}{2} x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}} \).
2. Производная \( v'(x) \) от \( e^x \) равна самой функции: \( v'(x) = e^x \).
3. Подставим найденные производные в формулу произведения: \( (\sqrt{x} e^x)' = (\frac{1}{2\sqrt{x}}) e^x + \sqrt{x} e^x \).
4. Можно привести к общему знаменателю или вынести \( e^x \) за скобки: \( e^x (\frac{1}{2\sqrt{x}} + \sqrt{x}) \).
5. Приведём к общему знаменателю в скобках: \( e^x (\frac{1 + 2(\sqrt{x})^2}{2\sqrt{x}}) = e^x (\frac{1 + 2x}{2\sqrt{x}}) \).

Ответ: \( \frac{e^x(1 + 2x)}{2\sqrt{x}} \)