10. Решите уравнение: 2cos²x - 3cosx + 1 = 0

Решение:

Это квадратное уравнение относительно \( \text{cosx} \). Сделаем замену переменной: пусть \( y = \text{cosx} \).

Тогда уравнение примет вид:

\( 2y^2 - 3y + 1 = 0 \)

Решим это квадратное уравнение. Найдём дискриминант:

\( D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1 \)

Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два корня:

\( y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 1}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1 \)

\( y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 1}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = 0.5 \)

Теперь вернёмся к исходной переменной \( x \):

1. \( \text{cosx} = y_1 = 1 \)

Это частный случай. \( x = \pm + 2πn \), где \( n \) — целое число.

\( x = 2πn \)

2. \( \text{cosx} = y_2 = 0.5 \)

\( x = \pm + 2πn \), где \( n \) — целое число.

\( x = \pm \frac{π}{3} + 2πn \), где \( n \) — целое число.

Ответ: x = 2πn; x = ±π/3 + 2πn, n ∈ Z