5. Вычислите предел: lim (x² - 5x + 4) / (16 - x²) при x → 4

Решение:

При подстановке \( x = 4 \) в выражение получаем неопределённость вида \( \frac{0}{0} \).

\( \frac{4^2 - 5 \times 4 + 4}{16 - 4^2} = \frac{16 - 20 + 4}{16 - 16} = \frac{0}{0} \)

Разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель: \( x^2 - 5x + 4 \). Корни уравнения \( x^2 - 5x + 4 = 0 \) находятся по теореме Виета: \( x_1 + x_2 = 5, x_1 x_2 = 4 \). Корни: \( x_1 = 1, x_2 = 4 \). Значит, \( x^2 - 5x + 4 = (x-1)(x-4) \).

Знаменатель: \( 16 - x^2 = (4-x)(4+x) \). Заметим, что \( 4-x = -(x-4) \).

Теперь перепишем предел:

\( \text{lim}_{x \to 4} \frac{(x-1)(x-4)}{(4-x)(4+x)} = \text{lim}_{x \to 4} \frac{(x-1)(x-4)}{-(x-4)(4+x)} \)

Сокращаем \( (x-4) \) (так как \( x \to 4 \), \( x \neq 4 \)):

\( \text{lim}_{x \to 4} \frac{x-1}{-(4+x)} \)

Теперь подставим \( x = 4 \):

\( \frac{4-1}{-(4+4)} = \frac{3}{-8} = -\frac{3}{8} \)

Ответ: -3/8