12. Найдите промежутки монотонности и точки экстремума функции: y = -3x² - 36x + 5

Решение:

Для нахождения промежутков монотонности и точек экстремума функции необходимо найти её первую производную и приравнять её к нулю.

1. Найдём первую производную функции:

\( y' = (-3x^2 - 36x + 5)' \)

\( y' = -3(2x) - 36 \)

\( y' = -6x - 36 \)

2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

\( -6x - 36 = 0 \)

\( -6x = 36 \)

\( x = \frac{36}{-6} \)

\( x = -6 \)

3. Определим промежутки монотонности.
Критическая точка \( x = -6 \) делит числовую ось на два интервала: \( (-∞, -6) \) и \( (-6, +∞) \).

Проверим знак производной на каждом интервале:

• Возьмём тестовую точку из интервала \( (-∞, -6) \), например, \( x = -7 \):
  \( y'(-7) = -6(-7) - 36 = 42 - 36 = 6 \). Так как \( y' > 0 \), на этом интервале функция возрастает.
• Возьмём тестовую точку из интервала \( (-6, +∞) \), например, \( x = 0 \):
  \( y'(0) = -6(0) - 36 = -36 \). Так как \( y' < 0 \), на этом интервале функция убывает.

4. Определим точки экстремума.
В точке \( x = -6 \) производная меняет знак с плюса на минус. Следовательно, в этой точке функция имеет локальный максимум.

Найдем значение функции в этой точке:

\( y(-6) = -3(-6)^2 - 36(-6) + 5 \)

\( y(-6) = -3(36) + 216 + 5 \)

\( y(-6) = -108 + 216 + 5 \)

\( y(-6) = 108 + 5 = 113 \)

Ответ:

• Промежутки монотонности: функция возрастает на \( (-∞, -6) \) и убывает на \( (-6, +∞) \).
• Точка экстремума: локальный максимум в точке \( (-6, 113) \).