11. Решите неравенство: 5 ⋅ 2^(2x+2) + 3 ⋅ 2^(2x-1) > 86

Решение:

Преобразуем выражения в левой части неравенства, чтобы привести их к общему множителю \( 2^{2x} \).

\( 5 \cdot 2^{2x+2} = 5 \cdot 2^{2x} · 2^2 = 5 · 4 · 2^{2x} = 20 · 2^{2x} \).

\( 3 \cdot 2^{2x-1} = 3 \cdot 2^{2x} · 2^{-1} = 3 \cdot \frac{1}{2} · 2^{2x} = 1.5 · 2^{2x} \).

Теперь подставим эти выражения обратно в неравенство:

\( 20 · 2^{2x} + 1.5 · 2^{2x} > 86 \)

Вынесем \( 2^{2x} \) за скобки:

\( (20 + 1.5) · 2^{2x} > 86 \)

\( 21.5 · 2^{2x} > 86 \)

Разделим обе части неравенства на 21.5:

\( 2^{2x} > \frac{86}{21.5} \)

\( 2^{2x} > 4 \)

Представим 4 как степень двойки: \( 4 = 2^2 \).

\( 2^{2x} > 2^2 \)

Поскольку основание степени \( 2 > 1 \), при сравнении степеней знак неравенства сохраняется:

\( 2x > 2 \)

Разделим обе части на 2:

\( x > 1 \)

Ответ: x > 1