10. Решите уравнение: \(\frac{x-1}{x} + \frac{x-2}{x} + \frac{x-3}{x} + ... + \frac{1}{x} = 3.\)

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

• Заметим, что знаменатель у всех дробей одинаков, $$x$$.
• Числители дробей образуют арифметическую прогрессию: $$(x-1), (x-2), (x-3), ..., 1$$.
• Чтобы определить количество членов в этой прогрессии, рассмотрим числители. Мы можем записать их как: $$x-1, x-2, ..., 1$$.
• Если $$x=1$$, то числители будут: $$0, -1, -2, ..., 1$$. Это не имеет смысла, так как $$x eq 0$$.
• Если $$x=2$$, то числители будут: $$1, 0, -1, ..., 1$$.
• Если $$x=3$$, то числители будут: $$2, 1, 0, -1, ..., 1$$.
• Давайте перепишем уравнение, вынеся общий знаменатель $$x$$:
• $$rac{(x-1) + (x-2) + (x-3) + ... + 1}{x} = 3$$
• Теперь нам нужно найти сумму числителей.
• Рассмотрим числители: $$x-1, x-2, ..., 1$$.
• Это арифметическая прогрессия с первым членом $$a_1 = x-1$$ и последним членом $$a_n = 1$$.
• Разность прогрессии $$d = (x-2) - (x-1) = -1$$.
• Найдем количество членов ($$n$$) в этой прогрессии, используя формулу $$a_n = a_1 + (n-1)d$$:
• $$1 = (x-1) + (n-1)(-1)$$
• $$1 = x-1 -n + 1$$
• $$1 = x - n$$
• $$n = x - 1$$.
• Теперь найдем сумму этой арифметической прогрессии по формуле $$S_n = rac{a_1 + a_n}{2} imes n$$:
• $$S_{числителей} = rac{(x-1) + 1}{2} imes (x-1) = rac{x}{2} imes (x-1)$$.
• Теперь подставим эту сумму обратно в исходное уравнение:
• $$rac{rac{x}{2} imes (x-1)}{x} = 3$$
• $$rac{x(x-1)}{2x} = 3$$
• При условии, что $$x eq 0$$. Мы можем сократить $$x$$:
• $$rac{x-1}{2} = 3$$
• Умножим обе части на 2:
• $$x-1 = 6$$
• $$x = 7$$.
• Проверим, что $$x=7$$ не приводит к делению на ноль. Действительно, $$7 eq 0$$.

Ответ: 7