8. Сумма первых пяти членов арифметической прогрессии равна 120, а девятый её член равен 48. Найдите сумму первых семи членов прогрессии.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

• Из условия задачи у нас есть:
• $$S_5 = 120$$
• $$a_9 = 48$$
• Используем формулу для суммы: $$S_5 = rac{2a_1 + (5-1)d}{2} imes 5 = rac{2a_1 + 4d}{2} imes 5 = (a_1 + 2d) imes 5 = 120$$.
• Отсюда получаем: $$a_1 + 2d = rac{120}{5} = 24$$. (Уравнение 1)
• Используем формулу для $$n$$-го члена: $$a_9 = a_1 + (9-1)d = a_1 + 8d = 48$$. (Уравнение 2)
• Теперь у нас есть система из двух уравнений:
• 1) $$a_1 + 2d = 24$$
• 2) $$a_1 + 8d = 48$$
• Вычтем уравнение 1 из уравнения 2: $$(a_1 + 8d) - (a_1 + 2d) = 48 - 24$$.
• $$6d = 24$$, откуда $$d = rac{24}{6} = 4$$.
• Подставим значение $$d$$ в уравнение 1: $$a_1 + 2(4) = 24$$.
• $$a_1 + 8 = 24$$, откуда $$a_1 = 24 - 8 = 16$$.
• Теперь найдем сумму первых семи членов ($$S_7$$):
• $$S_7 = rac{2a_1 + (7-1)d}{2} imes 7$$.
• $$S_7 = rac{2(16) + (6)(4)}{2} imes 7$$.
• $$S_7 = rac{32 + 24}{2} imes 7$$.
• $$S_7 = rac{56}{2} imes 7$$.
• $$S_7 = 28 imes 7 = 196$$.

Ответ: 196