9. Найдите, при каком значении переменной а числа а + 8, а + 2 и За - 2 будут последовательными членами геометрической прогрессии. Найдите эти числа.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

• По условию, числа $$a+8$$, $$a+2$$, $$3a-2$$ являются последовательными членами геометрической прогрессии.
• Применим условие $$y^2 = xz$$:
• $$(a+2)^2 = (a+8)(3a-2)$$
• Раскроем скобки:
• $$a^2 + 4a + 4 = 3a^2 - 2a + 24a - 16$$
• $$a^2 + 4a + 4 = 3a^2 + 22a - 16$$
• Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
• $$3a^2 - a^2 + 22a - 4a - 16 - 4 = 0$$
• $$2a^2 + 18a - 20 = 0$$
• Разделим всё на 2:
• $$a^2 + 9a - 10 = 0$$
• Решим это квадратное уравнение. Можно воспользоваться теоремой Виета или дискриминантом. По теореме Виета, корни уравнения, сумма которых равна -9, а произведение равно -10, это 1 и -10.
• Случай 1: $$a = 1$$.
• Найдем члены прогрессии:
• $$a+8 = 1+8 = 9$$
• $$a+2 = 1+2 = 3$$
• $$3a-2 = 3(1)-2 = 3-2 = 1$$
• Проверим, являются ли 9, 3, 1 членами геометрической прогрессии: $$3^2 = 9$$, $$9 imes 1 = 9$$. Условие выполняется. Знаменатель прогрессии $$q = rac{3}{9} = rac{1}{3}$$.
• Случай 2: $$a = -10$$.
• Найдем члены прогрессии:
• $$a+8 = -10+8 = -2$$
• $$a+2 = -10+2 = -8$$
• $$3a-2 = 3(-10)-2 = -30-2 = -32$$
• Проверим, являются ли -2, -8, -32 членами геометрической прогрессии: $$(-8)^2 = 64$$, $$(-2) imes (-32) = 64$$. Условие выполняется. Знаменатель прогрессии $$q = rac{-8}{-2} = 4$$.

Ответ: $$a=1$$ (числа: 9, 3, 1) или $$a=-10$$ (числа: -2, -8, -32).