10. Решите уравнение $$x^3 + 5x^2 - 9x - 45 = 0$$.

Решение:

Для решения этого кубического уравнения попробуем сгруппировать члены:

1. Сгруппируем первые два члена и последние два члена:
2. \[ (x^3 + 5x^2) + (-9x - 45) = 0 \]
3. Вынесем общий множитель из каждой группы:
4. Из первой группы вынесем $$x^2$$: $$x^2(x + 5)$$.
5. Из второй группы вынесем $$-9$$: $$-9(x + 5)$$.
6. Теперь уравнение выглядит так:
7. \[ x^2(x + 5) - 9(x + 5) = 0 \]
8. Видим, что $$(x + 5)$$ является общим множителем. Вынесем его:
9. \[ (x + 5)(x^2 - 9) = 0 \]
10. Теперь у нас есть произведение двух множителей, равное нулю. Это возможно, если хотя бы один из множителей равен нулю.
11. Случай 1: $$x + 5 = 0$$
12. \[ x = -5 \]
13. Случай 2: $$x^2 - 9 = 0$$
14. \[ x^2 = 9 \]
15. \[ x = ±\sqrt{9} \]
16. \[ x = ±3 \]
17. Таким образом, у нас есть три корня: $$x = -5$$, $$x = 3$$ и $$x = -3$$.

Ответ: $$-5; -3; 3$$