11. Первую половину пути автомобиль проехал со скоростью 69 км/ч, а вторую — со скоростью 111 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.

Решение:

Средняя скорость находится по формуле: $$v_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}}$$, где $$S_{общ}$$ — общее расстояние, а $$t_{общ}$$ — общее время.

Пусть весь путь равен $$2S$$ (так как путь делится на две равные половины).

1. Время на первой половине пути ($$t_1$$):
2. $$t_1 = \frac{S}{v_1} = \frac{S}{69}$$
3. Время на второй половине пути ($$t_2$$):
4. $$t_2 = \frac{S}{v_2} = \frac{S}{111}$$
5. Общее время ($$t_{общ}$$):
6. $$t_{общ} = t_1 + t_2 = \frac{S}{69} + \frac{S}{111}$$
7. Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 69 и 111 — это $$3 × 23 × 37 = 2553$$.
8. $$t_{общ} = \frac{S × 37}{69 × 37} + \frac{S × 23}{111 × 23} = \frac{37S}{2553} + \frac{23S}{2553} = \frac{37S + 23S}{2553} = \frac{60S}{2553}$$
9. Общее расстояние ($$S_{общ}$$):
10. $$S_{общ} = S + S = 2S$$
11. Рассчитаем среднюю скорость:
12. \[ v_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}} = \frac{2S}{\frac{60S}{2553}} \]
13. \[ v_{ср} = 2S × \frac{2553}{60S} \]
14. Сократим $$S$$:
15. \[ v_{ср} = \frac{2 × 2553}{60} = \frac{5106}{60} \]
16. \[ v_{ср} = 85.1 \]

Ответ: 85,1 км/ч